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Calcul d’un éta carré à l’aide du F seulement

Question posée par des clients dans la dernière année : est-ce possible de calculer une force d’association (éta carré ou \(\eta^2\)) seulement avec le rapport F et les degrés de liberté, sans passer par la table complète de l’ANOVA (i.e., le calcul des sommes de carrés)?

Réponse. Oui, tout à fait. Voici la démonstration :

1. On sait que :

$$
F = \frac{MS_B} {MS_W} = \frac{SS_B/(k-1)} {SS_W/(N-k)}.
$$

Donc \(SS_B = F \times MS_W \times (k-1)\), et \(SS_W = MS_W \times (N-k)\).

2. On sait aussi que :

$$
\eta^2 = \frac{SS_B}{SS_B + SS_W}
$$

3. Donc, si on substitue (1) dans (2) :

$$
\eta^2 = \frac{F \times MS_W \times (k-1)}{F \times MS_W \times (k-1) + MS_W \times (N-k)}
$$

4. Le term \(MS_W\) au numérateur et au dénominateur peut être simplifié, ce qui laisse  :

$$
\eta^2 = \frac{F (k-1)}{F (k-1) + (N-k)} = \frac{F (df_B)}{F (df_B) + (df_W)}
$$

Donc, c’est possible de calculer un éta carré seulement avec le rapport F et les degrés de liberté, sans passer par la table complète d’ANOVA.

Par exemple, si on obtient un rapport \(F(1,8) = 25.0\), l’éta-carré sera de :

$$
\eta^2 = \frac{F (df_B)}{F (df_B) + (df_W)} = \frac{25.0 (1)}{25.0 (1) + (8)} = \frac{25}{33} = 0.758
$$